Kaleidocycles and Rhythmic Canons

Abstract

Starting from the analysis of the features of traditional temperament, the theory of musical kaleidocycles (after some of Maurits Escher’s graphic techniques) points out the fundamental numerical rules governing a chord structure, which may have compositional implications, like when processing kaleidocycles into rhythmic-melodic canons. This recalls other compositional strategies relating to the kaleidocyclical technique, sharing with it the periodical structure and the strict numerical approach: thus you can find links with some apparently heterogeneous composition systems such as, for example, Anatol Vieru’s modal theory (1980). A strict algebraic formalization of Anatol Vieru’s modal theory was proposed by Rumenian mathematician Dan Tudor Vuza (1985), who was able to define the canons of maximal category as canons where all voices are complementary in the sense that there are neither intersections nor holes among them. Taking one of Dan Tudor Vuza’s canons as the starting point, it is possible to demonstrate that similar canons can be built with kaleidocycles. As an example, it is possible to build a canon of Vuza’s according to the kaleidocyclical system in a tempered space where the octave is divided into 72 parts (twelfths of tone).

Caleidocicli e canoni ritmici
Partendo dalla semplice constatazione del carattere ciclico del temperamento tradizionale (divisione dell’ottava in 12 parti uguali), la teoria dei caleidocicli musicali, giunge a individuare le leggi numeriche fondamentali che regolano la logica di una struttura accordale, leggi suscettibili di molteplici applicazioni compositive, come nel caso della trasformazione dei caleidocicli in canoni ritmico-melodici.
Da un punto di vista formale, la tecnica di costruzione dei canoni ritmici può essere derivata da una struttura caleidociclica. Ad una struttura intervallare è possibile associare in maniera naturale un ritmo periodico che avrà come pulsazione di base una qualsiasi unità minima opportunamente scelta e come periodo un sottomultiplo della somma degli elementi della struttura intervallare corrispondente. Il pensiero va ad altre strategie compositive che si apparentano alla tecnica dei caleidocicli, con cui hanno in comune il carattere periodico e la possibilità di una precisa descrizione numerica: è possibile creare punti di contatto profondi fra la teoria dei caleidocicli e alcuni sistemi compositivi apparentemente eterogenei, come ad esempio la teoria modale di Anatol Vieru (1980).
Una formalizzazione rigorosa, dal punto di vista algebrico, della teoria modale di Anatol Vieru è stata proposta dal matematico rumeno Dan Tudor Vuza (1985), che è giunto alla definizione dei canoni di categoria massimale (canons of maximal category). Partendo da un canone di Dan Tudor Vuza così come esemplificato da Moreno Andreatta (2003) si dimostrerà come attraverso il sistema dei caleidocicli musicali si possa giungere alla costruzione di analoghi canoni.